El otro día me topé que en un grupo de Facebook alguien preguntaba por juegos de mesa «sin azar». Esto me dio la idea de retomar los pocos conocimientos que tenemos de Teoría de Juegos y Probabilidad, junto con un genial artículo que habla al respecto y en el cual nos basamos para platicar de azar, suerte y juegos de mesa y explicar algunas ideas básicas detrás de las mismas.

La suerte y el azar son temas de discusión común entre los jugadores. Nosotros hemos escrito, por ejemplo, acerca del uso de dados en juegos de mesa. Muchos dicen que los juegos son buenos si «casi no tienen azar» o malos «si son sólo suerte» como el Juego de la Oca. Normalmente tendemos a asociar la suerte o el azar con cosas como los dados, de los cuales no tenemos control sobre sus resultados. Y muchos juegos viejos o juegos para niños contienen mucho azar y son considerados por la comunidad como juegos malos.

Pero valdría la pena entonces poner los términos en orden, estilo RAE, para no discutir semántica y discutir cosas más importantes: juegos de mesa.

Primero decir que las definiciones y gran parte de este artículo e ideas que se usarán no son propias; vienen de muchas otras fuentes; el artículo en el que nos basamos y principalmente publicaciones como Theory of Games and Economic Behavior de John von Neumann, Characteristics of Games de George Skaff Elias y Richard Garfield (¡creador de Magic!) y de varios libros de Probabilidad y Procesos Estocásticos (si buscan recomendaciones, dejen un comentario) todo esto junto con otros artículos que hablan al respecto en la web y lo explican de gran manera.

Algo que se discute en el libro de Characteristics of Games, y en lo cual ahondan bastante, es que la suerte y la estrategia/habilidad no son mutuamente excluyentes. No son conceptos contrarios. Calificar a un juego como «basado en azar» o «basado en habilidad» se queda corto. La habilidad y el azar conviven en armonía en muchos juegos. Aunque en distinta proporción.

Ajedrez es un juego de poco azar (tranquilos) y mucha habilidad. UNO es un juego de poca habilidad y mucho azar. Tres en línea o tres en raya (gato, totito, triqui o como le llames en tu país) es un juego de poca habilidad y poca suerte. Les agradecería si me pudieran decir un juego con mucho azar y mucha habilidad (¿quizás Magic The Gathering?). Y así podríamos seguir calificando todos los juegos del mundo, supongo. Pero de eso no va el artículo.

Sobre aleatoriedad, suerte y azar

Aquí vale la pena hacer notar algo: dejar de usar palabra suerte y cambiarla por azar (según la RAE ). Pero la palabra azar viene directamente del árabe y quiere decir «dado». Así que, para fines científicos, trataré de decir aleatoriedad, que es un término que tiene menos connotaciones semánticas que el azar o la suerte. Aunque quizás podamos definir la palabra suerte en otro artículo de esta serie. Acá nos aprovechamos de que «aleatoriedad» (alea también quiere decir dado) es un término más aceptado en la ciencia y matemáticas. O simplemente mejor definido.

Y bien, ¿no crees que aleatoriedad se puede usar para suerte o azar? Vale. Escribe en los comentarios por qué no crees que estos términos estén tan cercanamente relacionados y sigamos con la discusión allá.

Definiendo lo aleatorio y lo determinístico

Ahora, tenemos entonces que poner otra cosa en claro: usamos la aleatoriedad para modelar la incertidumbre. Alguien me discutía en el grupo que incertidumbre y aleatoriedad no es lo mismo; y tenía razón. Pero acá estamos explicando su relación.

En el bello mundo de las Matemáticas podemos encontrar muchas maneras de dividir o catalogar las funciones. Una de estas maneras es separarlas en determinísticas y aleatorias:

• Una función se dice determinística si podemos predecir su resultado con un 100% precisión, siempre y cuando conozcamos la entrada.
• Una función decimos que es aleatoria si, incluso conociendo la entrada, no podemos predecir el resultado con certeza. En su lugar, lo mejor que podemos hacer es caracterizar la salida como una distribución de probabilidad: quizás sea más factible que el resultado tome un rumbo que otro, pero no podemos estar 100% seguros de que así sea.

El mundo real es determinístico. Pero también es muy complejo. Y son tantos los factores que entran en juego en el mundo real que para ser lo más apegados a la realidad, tenemos que modelar las cosas usando aleatoriedad. Es irónico, pero es cierto. Usamos la aleatoriedad para compensar que no podemos conocer todos los factores que entran en un modelo; por lo tanto, tendremos ciertos errores en nuestras predicciones.

La aleatoriedad es una manera de modelar la incertidumbre.

Después podemos ver que incertidumbre quiere decir que «no podemos determinar algo». Si no podemos determinar la salida de un evento con 100% de precisión, podemos (debemos) interpretar que su salida es aleatoria.

Un malentendido común con la aleatoriedad tiene que ver con el hecho de que podemos tener mucha información acerca de un evento y aún así interpretarlo usando variable aleatoria. Cuando decimos que algo es aleatorio, la mayoría de la gente cree que queremos decir «uniformemente aleatorio». ¿Qué quiero decir con esto? Pongamos el ejemplo que todos esperaban y hablemos de dados.

Cuando yo tiro un dado de seis caras, el resultado es uniformemente aleatorio: las seis caras del dado tienen la misma probabilidad de aparecer. Cuando tiramos dos dados de seis caras y sumamos el resultado, el resultado ya no está uniformemente distribuido. Como cualquier jugador de Catan sabe, el número con más probabildad de salir es 7, con 1/6 de probabilidades. Mientras que conseguir un 2 o un 12 sólo sucede 1/36 de las veces, respectivamente.

Aunque la distribución de dos dados no es uniformemente aleatoria, sigue siendo igual de aleatoria que la de un dado. Es por eso que en un juego de mesa que involucre dados, conocer estas distribuciones te puede ayudar, pero el resultado de esas tiradas sigue siendo aleatorio. ¡No podemos predecirlo con certeza!

Lo mismo sucede con lanzar una moneda al aire. La probabilidad de que caiga cara o caiga cruz es de 50%. Pero si lanzamos dos monedas, el resultado más probable, con 1/2 de probabilidad, es que una sea cara y otra cruz. Para que salgan las dos caras iguales, sólo tenemos una probabilidad de 1/4.

Aún así, el decir que las cosas son «mas aleatorias» o «menos aleatorias» sólo se convierte en una manera confusa de hablar de distribuciones de probabilidad. Cuando decimos que algo es «más aleatorio» normalmente nos referimos a que la distribución aleatoria tiene una varianza más grande, lo que dice que los resultados están más esparcidos. O podemos decir «más aleatorio» cuando una distribución está muy cerca de ser uniforme (la misma probabilidad de que todos los resultados salgan). Por ahora, mantengámonos alejados de estos términos que pueden tener ambigüedad. Y también de los términos de probabilidad y estadística porque me traen recuerdos medio traumáticos.

 El mito del juego «sin azar»

Antes de que comiencen a sacar las antorchas mientras gritan «¡Ajedrez! ¡Go!», les pido que me escuchen. A continuación voy a decir que prácticamente todos los juegos de mesa tienen algo de aleatoriedad, incluidos todos los que me van a decir. Incluso el ajedrez, Go y todos esos juegos que son muy abstractos y que normalmente se reconocen como con «cero azar».

¿Por qué me atrevo a decir eso? Bien, me concentraré en el ejemplo más popular: ajedrez. Podemos probar que hay aleatoriedad en el ajedrez observando los resultados de los juegos. Muchas veces encontramos en torneos a jugadores que tienen una calificación más baja vencen a aquellos con una calificación más alta.

Quizás es un partido anómalo, o las calificaciones están mal y deben ajustarse (cosa que sucede en estos casos).

Como bien mencionan en varios lugares el sistema Elo de puntuación (usado en el ajedrez y en varios juegos en línea) es criticado y se dice que puede ser muy mejorado*. ¿Por qué? Bien, el sistema está diseñado de la siguiente manera: el resultado de una partida es una función aleatoria en la que la entrada es la diferencia de las calificaciones. Por poner un ejemplo: si un jugador con Elo de 1400 se enfrenta a uno con Elo de 1300, el jugador con 1400 ganará 2/3 de las veces (simplificando).

Ahí encontramos cierta incertidumbre en los resultados de las partidas. Modelamos esa incertidumbre usando aleatoriedad.

*Por acá vale la pena hacer la nota que en el sistema Elo, cada nuevo resultado de una partida cambia los valores anteriores de puntuación de los jugadores. Y este cambio es una función de la diferencia de las calificaciones. Lo cual hace que el sistema se alimente de su propia aleatoriedad y lo hace, en esencia, imperfecto.

Muchos de ustedes quizás no estén de acuerdo con el uso que le estamos dando a la aleatoriedad. Es más, más de uno de ustedes no va a leer esto y va a decir que es estúpido decir que el ajedrez es aleatorio porque  podemos ver el partido y analizar, de manera determinística, qué movimientos ganaron o perdieron la partida.

Pero la aleatoriedad es cuestión de perspectiva. Si vemos el ajedrez y la capacidad de predecir sus resultados como una función de saber quién va a ganar, tenemos que el ajedrez es entonces, incierto. Y ¿esto es lo importante, no? Saber quién ganará. Porque en teoría un mejor jugador, en un juego sin azar, siempre ganará.

Antes de saber cómo se llevó a cabo el partido, nuestras predicciones tienen incertidumbres y modelamos estas incertidumbres usando una distribución de probabilidad. La naturaleza del componente aleatorio de esta probabilidad depende absolutamente del marco de referencia. Antes de la partida, nuestra referencia es limitada. Cuando la partida está por acabar, nuestro nivel de incertidumbre probablemente cambiará dependiendo del estado del tablero.

¿De dónde viene la aleatoriedad en el ajedrez, entonces? ¿Por qué tenemos azar/aleatoriedad en los juegos de mesa? ¿Qué es lo que les da esa incertidumbre? Bueno, en la próxima entrada de esta serie analizaremos los tipos distintos de aleatoriedad que propone el creador de Magic, Richard Garfield. Creo que es una de las maneras más fáciles de entender la naturaleza de la aleatoriedad y, por lo tanto, la naturaleza del azar.